Question

已知函数f（x）=2a?4 x -2 x -1（1）当a=1时，求函数f（x）在x∈[-3，0]的值域；（2）若关于x的方程f（x

已知函数f（x）=2a?4 x -2 x -1（1）当a=1时，求函数f（x）在x∈[-3，0]的值域；（2）若关于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=2?4 x -2 x -1， 令t=2 x ，则f（t）=2t 2 -t-1， ∵x∈[-3，0] ∴ 1 8 ≤ t≤1，f（t）=2 (t- 1 4 ) 2 - 9 8 当t= 1 4 时，函数有最小值 - 9 8 ，当t=1时，函数有最大值0 故值域为 [- 9 8 ，0] （2）关于x的方程f（x）=0有解，等价于 方程2at 2 -t-1=0在（0，+∞）上有解 记f（t）=2at 2 -t-1（t＞0） ①当a=0时，解为t=-1，不成立 ②当a＜0时，开口向下，对称轴t= 1 4a ＜0，过点（0，-1），可得根都为负数，不成立 ③当a＞0时，开口向上，对称轴 t= 1 4a ＞0，过（0，-1），必有一个根为正 综上得，a＞0