Question

已知函数f(x)= ，g(x)=alnx，a∈R． (Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的

已知函数f(x)= ，g(x)=alnx，a∈R． (Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； (Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值ψ(a)的解析式；(Ⅲ)对(Ⅱ)中的ψ(a)，证明：当a∈(0，+∞)时，ψ(a)≤1．

Answer 1

解：(Ⅰ) ， 由已知得 ，解得 ， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2 ，e)， 切线的斜率为 ， ∴切线的方程为y-e=(x-e 2 )。 (Ⅱ)由条件知 ， ∴ ， (i)当a＞0时，令h′(x)=0，解得x=4a 2 ， ∴当0＜x＜4a 2 时，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a 2 )上递减； 当x＞4a 2 时，h′(x)＞0，h(x)在(4a 2 ，+∞)上递增， ∴x=4a 2 是h(x)在(0，+∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点， ∴最小值ψ(a)=h(4a 2 )=2a-aln4a 2 =2a(1-ln2a)； (ii)当a≤0时， ，h(x)在(0，+∞)上递增，无最小值， 故h(x)的最小值ψ(a)的解析式为ψ(a)=2a（1-ln 2a）(a＞0)． (Ⅲ)由(Ⅱ)知ψ(a)=2a（1-ln 2-lna）， 则 ， 令ψ′(a)=0，解得 ， 当 时，ψ′(a)＞0，∴ψ(a)在 上递增； 当 时，ψ′(a)＜0，∴ψ(a)在 上递减， ∴ψ(a)在 处取得最大值 。 ∵ψ(a)在（0，+∞）上有且只有一个极值点，所以 也是ψ(a)的最大值， ∴当a∈(0，+∞)时，总有ψ(a)≤1．