Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1） 2 ，其中，a为实常数且a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1） 2 ，其中，a为实常数且a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若 f(x)≥ a 2 对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f ′ (x)= a x+1 +2(x+1)= 2 (x+1) 2 +a x+1 （2分） 因为f（x）的定义域为（-1，+∞），所以x+1＞0 当a＞0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（-1，+∞）（4分） 当a＜0时，2（x+1） 2 ＞-a，即 x＞-1+ - a 2 时f′（x）＞0， 此时f（x）的单增区间为 (-1+ - a 2 ，+∞) （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞ 所以此时f（x）无最小值，不合题意（7分） 当a＜0时，f（x）在 (-1，-1+ - a 2 ) 上单调减，在 (-1+ - a 2 ，+∞) 上增， 所以 f(x)≥ a 2 恒成立，即 f(-1+ - a 2 )≥ a 2 ?aln - a 2 +( - a 2 ) 2 ≥ a 2 （10分） ?ln - a 2 ≤1 ，得 0＜ - a 2 ≤e?-2 e 2 ≤a＜0. （12分）