Question

（2011?柳州一模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA1=3．（1）求证：BC1∥平面A

（2011?柳州一模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA1=3．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求二面角D-A1C-A的大小．

Answer 1

（I）证明：连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AC=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁（2分）
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．（4分）
（II）解：过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连接EF．
∵平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE?平面ABC，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴DE⊥平ACC₁A₁．
∴EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影．
∴EF⊥A₁C，
∴∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角，（8分）
在直角三角形ADC中，DE＝

AD?DC

AC

＝

3

4

．
同理可求：DF＝

A1D?DC

A1C

＝

39

8

．
∴sinDFE＝

DE

DF

＝

2 13

13

．
∴∠DFE∈(0，

π

2

)．
∴∠DFE＝arcsin

2 13

13

．（12分）