Question

已知函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=12x2-（a-1）x．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（

已知函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=12x2-（a-1）x．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围并证明x1+x2随a的增大而减小．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=

1

2

x2-（a-1）x，
∴函数h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x2-ax-lna，
∴定义域为（0，+∞）且a＞0，
∵h′(x)＝

1

x

+x?a＝

1

x

(x2?ax+1)＝

1

x

[(x?

a

2

)2+

4?a

4

2)，
（1）当4-a²≥0，又a＞0，即0＜a≤2时，
h'（x）≥0对x＞0恒成立，
∴h（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
（2）当4-a²＜0，又a＞0，即a＞2时，
由h'（x）=0得：x＝

a? a2?4

2

，或x＝

a+ a2?4

2

，
所以h（x）的单调递增区间为(0，

a? a2?4

2

)，(

a+ a2?4

2

，+∞)；
（Ⅱ）当a＞0时，由f′(x)＝

1

x

?1＝

1?x

x

，得x=1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	-lna-1	↘

这时，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
当x大于0且无限趋近于0时，f（x）的值无限趋近于-∞；
当x无限趋近于0时+∞，f（x）的值无限趋近于-∞，
∴f（x）有两个零点，须满足f（1）＞0，即lna＜1，
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，即lnx₁-x₁-lna=0，lnx₂-x₂-lna=0．
∴x2?x1＝lnx2?lnx1＝ln

x2

x1

．
设

x2

x1

＝t，则t＞1，且

x2＝tx1 x2?x1＝lnt

解得x1＝

lnt

t?1

，x2＝

tlnt

t?1

．
所以x1+x2＝

(t+1)lnt

t?1

．
令h(x)＝

(x+1)lnx

x?1

，x∈（1，+∞），则h′(x)＝

?2lnx+x? 1 x

(x?1)2

．
令u(x)＝?2lnx+x?

1

x

，得u′(x)＝(

x?1

x

)2．
当x∈（1，+∞）时，u'（x）＞0．因此，u（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴对于任意的x∈（1，+∞），
u（x）＞u（1）=0，
由此可得h'（x）＞0，
故h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴由①可得x₁+x₂随着t的增大而增大．①
∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，
即lnx₁-x₁-lna=0，lnx₂-x₂-lna=0，
∴a＝

x1

ex1

，a＝

x2

ex2

，
因为f（1）=-1-lna且a∈（0，e^-1），则x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）．
设F(x)＝

x

ex

，则F′(x)＝

1?x

ex

，
所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
对于任意的a1，a2∈(0，e?1)，设a₁＞a₂，
∴F（ξ₁）=F（ξ₂）=a₁，其中0＜ξ₁＜1＜ξ₂；
F（η₁）=F（η₂）=a₂，其中0＜η₁＜1＜η₂．
∵F（x）在（0，1）上单调递增，
∴由a₁＞a₂，即F（ξ₁）＞F（η₁），可得ξ₁＞η₁；
类似可得ξ₂＜η₂，
由ξ₁，η₁＞0，则

1

ξ

1＜

1

η1

，所以

ξ2

ξ1

＜

η2

η1

．
∴t=

x2

x1

随着a的增大而减小．②
由①②得：x₁+x₂随a增大而减小．