Question

已知向量 m =（sinB，1-cosB）与向量 n =（2，0）的夹角为 π 3

已知向量 m =（sinB，1-cosB）与向量 n =（2，0）的夹角为 π 3 ，其中A、B、C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵ m ? n =2sinB ，（1分） 又 m ? n = sin 2 B+ (1-cosB) 2 ×2× 1 2 = 2-2cosB ，（2分） ∴2 sinB= 2-2cosB 化简得：2cos 2 B-cosB-1=0， ∴cosB=1（舍去）或 cosB=- 1 2 ，（4分） 又∵B∈（0，π），∴ B= 2 3 π ；（5分） （Ⅱ） sinA+sinC=sinA+sin( π 3 -A)=sinA+ 3 2 cosA- 1 2 sinA= 1 2 sinA+ 3 2 cosA=sin(A+ π 3 ) （8分） ∵ 0＜A＜ π 3 ，∴ π 3 ＜A+ π 3 ＜ 2 3 π ， 则 3 2 ＜sin(A+ π 3 )≤1 ， ∴ sinA+sinC∈( 3 2 ，1] （10分）