Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， 。（1）求证：直线PB是⊙O

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， 。（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值。

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Answer 1

解：（1）连接OB、OP， ∵ 且∠D=∠D， ∴△BDC∽△PDO， ∴∠DBC=∠DPO， ∴BC∥OP， ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠CBO， ∴∠BOP=∠POA， 又∵OB=OA，OP=OP， ∴△BOP≌△AOP， ∴∠PBO=∠PAO， 又∵PA⊥AC， ∴∠PBO=90°， ∴直线PB是⊙O的切线； （2）由（1）知∠BCO=∠POA 设PB=a，则BD=2a 又∵PA=PB=a ∴ 又∵ BC∥OP ∴ ∴ ∴ ∴ ∴cos∠BCA=cos∠POA= 。