Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y= - 1 2 x+b(b＞0) 分别交x轴、y轴于A、B两点．点C（4，0）、D

如图，在平面直角坐标系中，直线y= - 1 2 x+b(b＞0) 分别交x轴、y轴于A、B两点．点C（4，0）、D（8 ，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：2．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．（1）求点E、F的坐标；（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；（3）若在直线y= - 1 2 x+b(b＞0) 上存在点Q，使∠OQC等于90°，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

（1）∵C（4，0）D（8，0）， ∴CD=4， ∵矩形CDEF，且CF：CD=1：2 ∴CF=DE=2， ∵E、F在第一象限 ∴E（8，2），F（4，2）； （2）由题意知：A（2b，0）B（0，b）在直角三角形ADH中，tan∠BAO= 1 2 ①当0＜b≤2时，如图，S=0 ②当2＜b≤4时，如图，设AB交CF于G，AC=2b-4 ∵在直角三角形中，tan∠BAO= 1 2 ∴CG=b-2 ∴S= 1 2 (2b-4)(b-2) ，即S=b 2 -4b+4 ③当4＜b≤6，如图，设AB交EF于点G AD=2b-8 ∵在直角三角形ADH中，tan∠BAO= 1 2 ∴DH=b-4 EH=6-b 在矩形CDEF中 ∵CD ∥ EF ∴∠EGH=∠BAO 在直角三角形EGH中tan∠EGH= EH EG = 1 2 ∴EG=12-2b ∴S=2×4- 1 2 (12-2b)(6-b) =-b 2 +12b-28 ④当b＞6时，如图，S=8； （3）设Q（x，- 1 2 x+b）， ∵∠OQC=90°， ∴OQ 2 +CQ 2 =OC 2 ， ∴[x 2 +（- 1 2 x+b） 2 ]+[（x-4） 2 +（- 1 2 x+b） 2 ]=16， ∵存在Q， ∴△≥0， 求得：b≤ 5 +1， 由已知可得：0＜b≤ 5 +1 ．