Question

如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE= 5 cm，且tan∠EFC= .（1）△AFB 与△

如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE= 5 cm，且tan∠EFC= .（1）△AFB 与△FEC有什么关系？ 试证明你的结论。（2）求矩形ABCD的周长。

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Answer 1

解：（1）△AFB∽△FEC.  证明：由题意得：∠AFE=∠D=90° 又∠B=∠C=90°   ∴∠BAF+∠AFB=90° , ∠EFC+∠AFB=90° ∴∠BAF=∠EFC      ∴     AFB∽△FEC （2）设EC=3x,FC=4x，则有DE="EF=5x" ，∴AB="CD=3x+" 5x=8x 由△AFB∽△FEC得：      即：  =  ∴BF=6x  ∴BC="BF-CF=6x+" 4x= 10x ∴在Rt△ADE中，AD=BC=10x，AE= ，则有 解得 （ 舍去）  ∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm)   答：矩形ABCD的周长为36cm.

（1）由四边形BCD是矩形，可得∠AFE=∠D=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAF=∠EFC，即可证得：△AFB∽△FEC； （2）由Rt△FEC中，tan∠EFC= ，可得 ，则可设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．继而求得BF与BC，则可求得k的值，由矩形ABCD的周长=2（AB+BC）求得结果．