Question

【观察发现】如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点

【观察发现】如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成的锐角的度数．（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与【观察发现】中的条件相同，【观察发现】中的结论是否还成立？请说明理由【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6，BD=10，求边CD的长度．

Answer 1

【观察发现】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AB＝AC ∠ACE＝∠BCD CD＝CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
由三角形的外角性质，∠DPE=∠AEC+∠BDC，
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；

【深入探究】：结论BD=AE，∠DPE=60°还成立．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AB＝AC ∠ACE＝∠BCD CD＝CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
∵∠BDC+∠CDE+∠AED=∠AEC+∠CDE+∠AED=∠CDE+∠CED=120°，
∴∠DPE=180°-（∠BDC+∠CDE+∠AED）=180°-120°=60°；
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；

【拓展应用】如图，∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，
则BE=AD，△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，∠CED=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠BED=30°+60°=90°，
在Rt△BDE中，DE=

BD2?BE2

=

102?62

=8，
∴CD=DE=8．