Question

如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．

如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．（1）求证：O2C⊥O1O2；（2）证明：AB?BC=2O2B?BO1；（3）如果AB?BC=12，O2C=4，求AO1的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵O₁A为⊙O₂的切线，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；

（2）证明：延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD．
∵BD是⊙O₁直径，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，
又∵∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，

O2B

AB

=

BC

BD

，
∴AB?BC=O₂B?BD，
又∵BD=2BO₁，
∴AB?BC=2O₂B?BO₁．

（3）解：由（2）证可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，
又∵∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，

AO2

DO2

=

O2B

O2A

，
∴（AO₂）²=O₂B?O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴（O₂C）²=O₂B?O₂D①，
又由（2）AB?BC=O₂B?BD②，
由①-②得O₂C²-AB?BC=O₂B²即4²-12=O₂B²，
∴O₂B=2，
又∵O₂B?BD=AB?BC=12，
∴BD=6，
∴2AO₁=BD=6，
∴AO₁=3．