Question

（2010?河南二模）在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，

（2010?河南二模）在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PAD；（2）求证：EF∥平面PAB；（3）求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．

Answer 1

解答：证明：（I）E是AD中点，连接PE∴AB=2，AE=1
∴BE²=AB²+AE²-2AB?AE?cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3
∴AE²+BE²=1+3=4=AB²∴BE⊥AE
又平面PAD⊥平面ZBCD，交线AD
∴BE⊥平面PAD
（II）证明：取PB的中点H，连接FH，AH
AE＝

1

2

BC  ，AE∥BC，又HF是△PBC的中位线
HF∥

1

2

BC，HF＝

1

2

BC
∴AE∥HF，AE=HF
∴四边形AHFE是平行四边形
∴EF∥AH
又EF?平面PAB，AH?平面PAB
∴AH∥平面PAB
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC
又PE'BE是平面PBE内两相交直线
∴BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC
∴FH⊥平面PBE
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角
易知BE=PE=

3

，在Rt△PBE中EH＝

6

2

∴tan∠FEH＝

6

3

∴cos∠FEH＝

15

5

故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为

15

5