Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1中点．（1）求证：平面B1FC1∥平面ADE；（2）试在棱DC上

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1中点．（1）求证：平面B1FC1∥平面ADE；（2）试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE（3）求二面角A1-DE-A的余弦值．

Answer 1

解答：解：（1）证明：∵E、F分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中点．
∴DF∥B₁E且DF=B₁E
∴四边形DFB₁E为平行四边形，
即FB₁∥DE，
由∵AD∥B₁C₁（2分）
又AD∩DE=D，B₁C₁∩B₁F=B₁
∴平面B₁FC∥平面ADE．（4分）
（2）证明：取DC中点M，连接D₁M，
由正方体性质可知，D₁M⊥B₁C₁，
且△DD₁M≌△C₁D₁F  （5分）所以∠D₁C₁F=∠DD₁M，
又∠D₁C₁F+∠D₁FC₁=90⁰
所以∠D₁D₁M+∠D₁FC₁=90⁰
所以D₁M⊥FC₁（6分
又FC₁∩B₁C₁=C₁
∴D₁M⊥平面B₁FC₁
又由（1）知平面B₁FC₁∥平面ADE．
所以D₁M⊥平面ADE．（8分）
（3）以D为原点，端点在D的三条棱为坐标轴建立坐标系，写出要用的点的坐标，
得到

DA1

＝(2，0，2)，

DE

＝(2，2，1)，
设平面A₁DE的法向量是

m

＝(p，q，r)，
则有2p+2r=0，
2p+2q+r=0，
令p=1，得r=-1，q=-

1

2

，
∴

m

＝(1，?

1

2

，?1)
由（2）知平面ADE的法向量是（0，1，-2）
∴二面角的余弦值是

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