已知椭圆C1：y2a2+x2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1
已知椭圆C1：y2a2+x2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）设点P在抛物线C2：y=x2+h（...
已知椭圆C1：y2a2+x2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N．若存在点P，使得线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的取值范围．
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问题解析
（1）由椭圆右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1，建立方程组，即可求出椭圆方程；
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，求出直线MN的方程代入椭圆C1的方程，根据直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△＞0，利用线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等，建立方程，从而可得h的取值范围。本题考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
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（1）由题意得
，∴
，…（3分）
∴所求的椭圆方程为
+x2＝1…（5分）
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，…（6分）
∴直线MN的方程为y=2tx-t2+h，代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0，
即4（1+t2）x2-4t（t2-h）x+（t2-h）2-4=0，…（7分）
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△=16t2（t2-h）2-16（1+t2）[（t2-h）2-4]＞0
即-（t2-h）2+4+4t2＞0，…（8分）
设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3＝
＝
，
设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝
，
由题意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，显然t≠0
∴h＝?
＝?(t+
+1)（t≠0）…（9分）
∴t4+2t3-2t2+2t+1＜0，即（t2+t+1）2-5t2＜0
解得?
＜t＜
而?
＜?1＜
＜0
又h＝?
＝?(t+
+1)在(?
，?1)上递增，
在(?1，
|
|
∴所求的椭圆方程为
| y2 |
| 4 |
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，…（6分）
∴直线MN的方程为y=2tx-t2+h，代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0，
即4（1+t2）x2-4t（t2-h）x+（t2-h）2-4=0，…（7分）
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△=16t2（t2-h）2-16（1+t2）[（t2-h）2-4]＞0
即-（t2-h）2+4+4t2＞0，…（8分）
设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3＝
| x1+x2 |
| 2 |
| t(t2?h) |
| 2(1+t2) |
设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝
| t+1 |
| 2 |
由题意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，显然t≠0
∴h＝?
| t2+t+1 |
| t |
| 1 |
| t |
∴t4+2t3-2t2+2t+1＜0，即（t2+t+1）2-5t2＜0
解得?
(1+
| ||||||
| 2 |
?(1+
| ||||||
| 2 |
而?
(1+
| ||||||
| 2 |
?(1+
| ||||||
| 2 |
又h＝?
| t2+t+1 |
| t |
| 1 |
| t |
(1+
| ||||||
| 2 |
在(?1，
?(1+
|
