（2014?锦州二模）如图，四棱锥P-ABCD中，△PAB为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面AB
（2014?锦州二模）如图，四棱锥P-ABCD中，△PAB为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD点上一点，满足PE＝1...
（2014?锦州二模）如图，四棱锥P-ABCD中，△PAB为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD点上一点，满足PE＝12ED（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小．
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解答：证明：（I）取AB的中点O，连接PO，OC
∵△PAB为边长为2的正三角形，
∴PO⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，
又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC?平面POC
∴AB⊥平面POC
又∵OC?平面POC
∴AB⊥OC
以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则A（-1，0，0），C（0，
，0），P（0，0，
），D（-2，
，0）
∵
＝
则E（?
，
，
）
则
=（1，
，0），
=（
，
，
）
设平面ACE的法向量为
=（x，y，z）
则由
可得
∵△PAB为边长为2的正三角形，
∴PO⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，
又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC?平面POC
∴AB⊥平面POC
又∵OC?平面POC
∴AB⊥OC
以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则A（-1，0，0），C（0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∵
| PE |
| 1 |
| 2 |
| ED |
则E（?
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
则
| AC |
| 3 |
| AE |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
设平面ACE的法向量为
| n |
则由
|
|
