Question

求有理函数不定积分

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Answer 1

先分解部分分式：
1/(1-x³)=a/(1-x)+(bx+c)/(1+x+x²)
1=a(1+x+x²)+(bx+c)(1-x)
令x=1代入得：1=3a, 得：a=1/3
令x=0代入得：1=a+c, 得：c=1-a=2/3
令x=-1代入得：1=a+(-b+c)/2, 得：b=2(a-1)+c=-2/3
所以原式=1/3∫dx/(1-x)+2/3∫(-x+1)/(1+x+x²)dx
=-1/3ln|1-x|-2/3∫[x+1/2-3/2]/[(x+1/2)²+3/4]dx
=-1/3ln|1-x|-2/3∫(x+1/2)dx/[(x+1/2)²+3/4]+∫dx/[(x+1/2)²+3/4]
=-1/3ln|1-x|-1/3∫d(x+1/2)²/[(x+1/2)²+3/4]+2/√3∫d(2x/√3)/[1/3(2x+1)²+1]
=-1/3ln|1-x|-1/3ln(x²+x+1)+2/√3arctan[(2x+1)/√3]+C

Answer 2

Answer 3

先分解部分分式：
1/(1-x³)=a/(1-x)+(bx+c)/(1+x+x²)
1=a(1+x+x²)+(bx+c)(1-x)
令x=1代入得：1=3a, 得：a=1/3
令x=0代入得：1=a+c, 得：c=1-a=2/3
令x=-1代入得：1=a+(-b+c)/2, 得：b=2(a-1)+c=-2/3
所以原式=1/3∫dx/(1-x)+2/3∫(-x+1)/(1+x+x²)dx
=-1/3ln|1-x|-2/3∫[x+1/2-3/2]/[(x+1/2)²+3/4]dx
=-1/3ln|1-x|-2/3∫(x+1/2)dx/[(x+1/2)²+3/4]+∫dx/[(x+1/2)²+3/4]
=-1/3ln|1-x|-1/3∫d(x+1/2)²/[(x+1/2)²+3/4]+2/√3∫d(2x/√3)/[1/3(2x+1)²+1]
=-1/3ln|1-x|-1/3ln(x²+x+1)+2/√3arctan[(2x+1)/√3]+C

Answer 4

先分解部分分式：
1/(1-x³)=a/(1-x)+(bx+c)/(1+x+x²)
1=a(1+x+x²)+(bx+c)(1-x)
令x=1代入得：1=3a, 得：a=1/3
令x=0代入得：1=a+c, 得：c=1-a=2/3
令x=-1代入得：1=a+(-b+c)/2, 得：b=2(a-1)+c=-2/3
所以原式=1/3∫dx/(1-x)+2/3∫(-x+1)/(1+x+x²)dx
=-1/3ln|1-x|-2/3∫[x+1/2-3/2]/[(x+1/2)²+3/4]dx
=-1/3ln|1-x|-2/3∫(x+1/2)dx/[(x+1/2)²+3/4]+∫dx/[(x+1/2)²+3/4]
=-1/3ln|1-x|-1/3∫d(x+1/2)²/[(x+1/2)²+3/4]+2/√3∫d(2x/√3)/[1/3(2x+1)²+1]
=-1/3ln|1-x|-1/3ln(x²+x+1)+2/√3arctan[(2x+1)/√3]+C