Question

如图：△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠

如图：△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交∠BAC的外角∠CAM于点D，求证：CE=ED；（3）当△ABC再添加一个条件，可得AP∥BC，请写出这个条件（不必证明）．

Answer 1

根据三角形的性质得：

（1）证明：过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点E、F、G，

∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，

∴PE=PF，PF=PG，

∴PE=PG，

∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）证明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，

∴∠DAE=∠CAE．

∵CE⊥AP，

∴∠AED=∠AEC=90°．

在△ADE与△ACE中，

∵∠DAE＝∠CAEAE＝AE∠AED＝∠AEC    ，

∴△ADE≌△ACE

∴CE=DE；

（3）当∠DAE=∠ABC时，AP∥BC．

故添加的条件可以为：∠DAE=∠ABC．

扩展资料：

性质

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。

9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

12、 等底同高的三角形面积相等。

1、3 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

参考资料：百度百科——三角形

Answer 2

（1）证明：过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点E、F、G，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PE=PF，PF=PG，
∴PE=PG，
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）证明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE．
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°．
在△ADE与△ACE中，
∵

∠DAE＝∠CAE AE＝AE ∠AED＝∠AEC

，
∴△ADE≌△ACE，
∴CE=DE；

（3）当∠DAE=∠ABC时，AP∥BC．
故添加的条件可以为：∠DAE=∠ABC．