Question

一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O为AC中点．（1

一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O为AC中点．（1）如图1，若把三角板的直角顶点放置于点O，两直角边分别与AB、BC交于点M、N，求证：BM=CN；（2）若点P是线段AC上一动点，在射线BC上找一点D，使PD=PB，再过点D作BO的平行线，交直线AC于一点E，试在备用图上探索线段ED和OP的关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连结OB．
∵AB=BC，O为AC中点，
∴∠ABO=∠CBO，BO⊥AC．                   
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠A=∠C=45°，
∴∠ABO=∠C=∠CBO，
∴0B=OC．
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON．  
在△BOM和Rt△CON中

∠ABO＝∠C 0B＝OC ∠MOB＝∠CON

，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴BM=CN；

（2）OP=DE，OP⊥DE．理由如下：
①如图2，若点P在线段AO上．
∵BO⊥AC，
∴∠BOC=90°．
∵OB∥DE，
∴∠POB=∠PED=90°，
∴OP⊥DE，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠C=45°，
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPC=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPC，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∠POB＝∠PED ∠PBO＝∠DPC PB＝PD

，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE；
②若点P在线段CO上．
同理可证OP⊥DE，OP=DE，
∵OB∥DE，
∴∠OBC=∠BDE=45°．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°，
∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°，
∴∠APB=∠PDE．
在△BPO和△PDE中

∠APB＝∠PDE  ∠BOP＝∠PED PB＝PD

，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE．
综上所述：OP=DE，OP⊥DE．