Question

已知函数f（x）=23sin(π?x)sin(π2+x)+2cos2x-1．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）

已知函数f（x）=23sin(π?x)sin(π2+x)+2cos2x-1．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）f（x）=2

3

sin(π?x)sin(

π

2

+x)+2cos2x?1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
因为ω=2，所以函数f（x）的周期T=

2π

2

=π．
由?

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得kπ?

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
即单调递增区间是[kπ?

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）因为x∈[0，

π

2

]，所以 

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
所以?

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
所以，当2x+

π

6

＝

7π

6

，即x＝

π

2

时，[f（x）]_min=-1，
当2x+

π

6

＝

π

2

，即x＝

π

6

时，[f（x）]_max=2．