Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点M为BC边上的中点，过M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．（1）

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点M为BC边上的中点，过M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．（1）试判断△EMF是什么形状的三角形，并证明；（2）以线段BE、EF、FC为边能否构成直角三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）△EMF是等腰直角三角形
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴AB=AC，∠B=∠C=45°．
∵点M为BC边上的中点，
∴AM=MB=MC，∠AMC=∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM=45°，
∴∠B=∠C=∠BAM=∠CAM．∠AME+∠BME=90°．∠AMF+∠CMF=90°
∴ME⊥MF
∴∠EMF=90°，
∴∠AME+∠AMF=90°，
∴∠BME=∠AMF，∠AME=∠CMF．
在△AFM和△BEM中，

∠B＝∠MAF BM＝AM ∠BME＝∠AMF

，
∴△AFM≌△BEM（ASA），
∴FM=EM．
∵∠EMF=90°，
∴△EMF是等腰直角三角形；

（2）线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．
∵△AFM≌△BEM
∴AF=BE．
在△AME和△CMF中，

∠BME＝∠C AM＝CM ∠AME＝∠CMF

，
∴△AME≌△CMF（ASA），
∴AE=CF．
∵∠BAC=90°，
∴AE²+AF²=EF²，
∴CF²+BE²=EF²．
∴线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．