Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；

如图，抛物线y=ax 2 +bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD ∥ CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，得： a-b+1=0 a+b+1=0 ，解得 a=-1 b=0 ； ∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +1； （2）易知A（-1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1； 由于AC ∥ BD，可设直线BD的解析式为y=x+h，则有：1+h=0，h=-1； ∴直线BD的解析式为y=x-1；联立抛物线的解析式得： y=- x 2 +1 y=x-1 ，解得 x=1 y=0 ， x=-2 y=-3 ； ∴D（-2，-3）； ∴S 四边形ACBD =S △ABC +S △ABD = 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×3=4； （3）∵OA=OB=OC=1， ∴△ABC是等腰Rt△； ∵AC ∥ BD， ∴∠CBD=90°； 易求得BC= 2 ，BD=3 2 ； ∴BC：BD=1：3； 由于∠CBD=∠MNA=90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有： △MNA ∽ △CBD或△MNA ∽ △DBC，得： MN AN = BC BD = 1 3 或 MN AN = BD BC =3； 即MN= 1 3 AN或MN=3AN； 设M点的坐标为（x，-x 2 +1）， ①当x＞1时，AN=x-（-1）=x+1，MN=x 2 -1； ∴x 2 -1= 1 3 （x+1）或x 2 -1=3（x+1） 解得x= 4 3 ，x=-1（舍去）或x=4，x=-1（舍去）； ∴M点的坐标为：M（ 4 3 ，- 7 9 ）或（4，-15）； ②当x＜-1时，AN=-1-x，MN=x 2 -1； ∴x 2 -1= 1 3 （-x-1）或x 2 -1=3（-x-1） 解得x= 2 3 ，x=-1（两个都不合题意，舍去）或x=-2，x=-1（舍去）； ∴M（-2，-3）； 故存在符合条件的M点，且坐标为：M（ 4 3 ，- 7 9 ）或（4，-15）或（-2，-3）．