Question

设函数f（x）=x 2 +x- 1 4 ．（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；（2）若定义域为

设函数f（x）=x 2 +x- 1 4 ．（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[- 1 2 ， 1 16 ]，求a的值．

Answer 1

（1）∵f（x）= (x+ 1 2 ) 2 - 1 2 ， ∴对称轴为x=- 1 2 ．∵- 1 2 ＜0≤x≤3， ∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即 [- 1 4 ， 47 4 ] ． （2）∵f（x）的最小值为- 1 2 ， ∴对称轴x=- 1 2 ∈[a，a+1]． ∴ a≤ - 1 2 a+1≥- 1 2 解得- 3 2 ≤a≤- 1 2 ． ∵区间[a，a+1]的中点为x 0 =a+ 1 2 ， 当a+ 1 2 ≥- 1 2 ，即-1≤a≤- 1 2 时， f（x）最大值为f（a+1）= 1 16 ． ∴（a+1） 2 +（a+1）- 1 4 = 1 16 ． ∴16a 2 +48a+27=0． ∴a=- 3 4 (a=- 9 4 舍去) ． 当a+ 1 2 ＜- 1 2 ，即- 3 2 ≤a＜-1时， f（x）最大值为f（a）= 1 16 ， ∴a 2 +a- 1 4 = 1 16 ． ∴16a 2 +16a-5=0． ∴a=- 5 4 (a= 1 4 舍去) ． 综上知a=- 3 4 或a=- 5 4 ．