Question

已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4+a2=2S3；等比数列{bn}满足b1=a2，b2=a4（1）若a1=2，设

已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4+a2=2S3；等比数列{bn}满足b1=a2，b2=a4（1）若a1=2，设Cn＝2log2bn?log2bn+1，求数列{cn}的前n项的和Tn；（2）在（1）的条件下，若有f（n）=log3Tn，求f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₄+a₂=2S₃，得4a₁+6d+a₁+d=6a₁+6d，
∴a₁=d，…（2分）
则a_n=a₁+（n-1）d=na₁，
∴b₁=a₂=2a₁，b₂=a₄=4a₁，
等比数列{b_n}中q＝

b2

b1

＝2，…（3分）
则b_n=2a₁?2^n-1=2ⁿ?a₁，…（4分）
当a₁=2时，b_n=2ⁿ⁺¹，cn＝

2

(n+1)(n+2)

＝2(

1

n+1

?

1

n+2

)…（6分）
则T_n=c₁+c₂+…+c_n=2(

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n+1

?

1

n+2

)
=2(

1

2

?

1

n+2

)＝

n

n+2?

…（8分）
（2）f(n)＝log3Tn＝log3

n

n+2?

∴f（1）+f（2）+…+f（n）
=log3

1

3

+log3

2

4

+…+log3

n

n+2

=log3(

1

3

?

2

4

?…?

n

n+2

)=log3

2

(n+1)(n+2)

≤log3

2

(1+1)(1+2)

=-1
即f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值为-1．…（12分）