Question

已知函数f（x）=x3+x-16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的

已知函数f（x）=x3+x-16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-14x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer 1

（1）可判定点（2，-6）在曲线y=f（x）上．
∵f′（x）=（x³+x-16）′=3x²+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率为k=f′（2）=13．
∴切线的方程为y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32；
（2）设切点为（x₀，y₀），
则直线l的斜率为f′（x₀）=3x₀²+1，
∴直线l的方程为y=（3x₀²+1）（x-x₀）+x₀³+x₀-16，
又∵直线l过点（0，0），
∴0=（3x₀²+1）（-x₀）+x₀³+x₀-16，
整理得，x₀³=-8，
∴x₀=-2，
∴y₀=（-2）³+（-2）-16=-26，
k=3×（-2）²+1=13．
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（-2，-26）．
（3）∵切线与直线y=-

x

4

+3垂直，
∴切线的斜率k=4．
设切点的坐标为（x₀，y₀），则f′（x₀）=3x₀²+1=4，
∴x₀=±1，
∴

x0＝1 y0＝?14

或

x0＝?1 y0＝?18

切线方程为y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．