已知函数f（x）=lnx+1x．（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）-1x+ax2
已知函数f（x）=lnx+1x．（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）-1x+ax2-2x有两个不同的极值点．其极小值为M，试...
已知函数f（x）=lnx+1x．（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）-1x+ax2-2x有两个不同的极值点．其极小值为M，试比较2M与-3的大小，并说明理由；（3）设q＞p＞2，求证：当x∈（p，q）时，f(x)?f(p)x?p＞f(x)?f(p)x?q．
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（1）∵f（x）=lnx+
，
∴f′(x)＝
?
，∴f(2)＝ln2+
，f′(2)＝
；
∴所求的切线方程为y?(ln2+
)＝
(x?2)，
即x-4y+4ln2=0；…（4分）
（2）∵g（x）=ax2-2x+lnx，∴g′(x)＝2ax?2+
＝
(x＞0)；
又∵g（x）有两个不同的极值点，
∴p（x）=2ax2-2x+1=0在（0，+∞）有两个不同的根x1，x2（x1＜x2），
则△＞0且x1+x2＞0，x1x2＞0，解得0＜a＜
；…（6分）
∴g（x）在（0，x1）上递增，（x1，x2）上递减，（x2，+∞）上递增，
∴g（x）的极小值M＝g(x2)＝a
?2x2+lnx2；
又∵2a
?2x2+1＝0且x2＝
∈(1，+∞)，
∴M＝M(x2)＝x2?
?2x2+lnx2＝lnx2?x2?
(x2＞1)，
则M′(x2)＝
＜0，
∴M（x2）在（1，+∞）递减，
∴M(x2)＜M(1)＝?
，故2M＜-3；…（9分）
（3）先证明：当x∈（p，q）时，
＞f′(x)；
即证：
| 1 |
| x |
∴f′(x)＝
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴所求的切线方程为y?(ln2+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
即x-4y+4ln2=0；…（4分）
（2）∵g（x）=ax2-2x+lnx，∴g′(x)＝2ax?2+
| 1 |
| x |
| 2ax2?2x+1 |
| x |
又∵g（x）有两个不同的极值点，
∴p（x）=2ax2-2x+1=0在（0，+∞）有两个不同的根x1，x2（x1＜x2），
则△＞0且x1+x2＞0，x1x2＞0，解得0＜a＜
| 1 |
| 2 |
∴g（x）在（0，x1）上递增，（x1，x2）上递减，（x2，+∞）上递增，
∴g（x）的极小值M＝g(x2)＝a
| x | 2 2 |
又∵2a
| x | 2 2 |
1+
| ||
| 2a |
∴M＝M(x2)＝x2?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则M′(x2)＝
| 1?x2 |
| x2 |
∴M（x2）在（1，+∞）递减，
∴M(x2)＜M(1)＝?
| 3 |
| 2 |
（3）先证明：当x∈（p，q）时，
| f(x)?f(p) |
| x?p |
即证：
lnx+
|
