Question

已知M(?3，0)，N(3，0)是平面上的两个定点，动点P满足|PM|+|PN|＝26．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知

已知M(?3，0)，N(3，0)是平面上的两个定点，动点P满足|PM|+|PN|＝26．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，设Q为AB的中点，求|OQ|长度的取值范围．

Answer 1

（1）∵M(?

3

，0)，N(

3

，0)是平面上的两个定点，动点P满足|PM|+|PN|＝2

6

．
依椭圆的定义知，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
且a＝

6

，c＝

3

，b＝

3

，
所以动点P的轨迹方程为

x2

6

+

y2

3

＝1．
（2）如果圆的切线斜率不存在，则AB方程为x＝±

2

，此时，|OQ|＝

2

．
如果圆的切线斜率存在，设圆的切线方程为y=kx+b，
代入椭圆方程得：（1+2k²）x²+4bkx+2b²-6=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程①的解，
所以x1+x2＝?

4kb

1+2k2

，x1?x2＝

2b2?6

1+2k2

②
因为x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2，
把②式代入得：x1x2+y1y2＝(1+k2)?

2b2?6

1+2k2

+kb?(?

4kb

1+2k2

)+b2＝

3(b2?2k2?2)

1+2k2

③
又因为直线AB与圆x²+y²=2相切，
所以

|b|

1+k2

＝

2

，即b²=2（1+k²），
代入③式得x₁x₂+y₁y₂=0，
因此OA⊥OB，
所以|OQ|＝

1

2

|AB|．
由b²=2（1+k²）得|AB|＝

1+k2

(x1+x2)2?4x1x2

＝2

2

1+ k2 4k4+4k2+1

，
因为

k2

4k4+4k2+1

≥0，所以|AB|≥2

2

（当且仅当k=0时取等号）．
k≠0时，