Question

（2003?厦门）如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D．（1）设弧BC的长为m1，弧OD

（2003?厦门）如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D．（1）设弧BC的长为m1，弧OD的长为m2，求证：m1=2m2；（2）若BD与⊙O1相切，求证：BC=2AD．

Answer 1

解答：证明：（1）连接OC，O₁D．
∵∠COB=2∠CAB，∠DO₁O=2∠DAO，
∴∠COB=∠DO₁O记∠COD的度数为n，
则∠DO₁O的度数也为n，
设⊙O₁的半径为r，⊙O的半径为R，
由题意得，R=2r，
∴m₁=

nπR

180

＝

2nπr

180

=2m₂．

（2）连接OD，
∵BD是⊙O₁的切线，
∴BD⊥O₁D．
∴∠BDO₁=90°．
而∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADO₁=∠CBD，
又∵∠DAO₁=∠ADO₁，
∴∠DAO₁=∠CBD，
∴△ACB∽△BCD
∴

AC

BC

＝

BC

CD

∵AO是⊙O₁的直径，
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中点，即AC=2CD=2AD．
∴BC²=AC?CD=2AD²，
∴BC=

2

AD．