Question

如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点

如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．

Answer 1

连接OA
∵∠B=60°,∴∠AOC=120°
∵OA=OC,∴∠ACP=∠OAC=30°
∵AP=AC,∴∠P=30°
∴∠CAP=120°
∴∠OAP=∠CAP-∠OAC=90°
∴AP是切线
连接AD,∵CD是直径,A在圆上,∴∠CAD=90°
∵∠ADC=∠B=60°,AC=3,∴CD=2√3
设PD=x,则PC=2√3+x
切割线定理得AP^2=PC*PD,即9=(2√3+x)x,解得x=√3
∴PD=√3

Answer 2

连接 OA，AD，可知
（1）
角AOC=120度；
角AOD=ADO=DAO=60度；
角ACO=CAO=APO=PAD=30度；
角PAO=PAD+DAO=90度；
PA垂直于半径OA，故AP是切线。
（2）PD=AD（等腰）
AD=AO（等边）
AD/AC=1/根号3
AD=根号3