Question

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= （x＞0）交于点B（2，1），过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= （x＞0）交于点B（2，1），过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y= （x＞0）和y=- （x＜0）于点M、N。 （1）求m的值和直线l的解析式；（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S △AMN =4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由点B（2，1）在y= 上，有2= ，即m=2， 设直线l的解析式为y=kx+b，由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，得 ，解之，得k=1，b=-1， ∴所求直线l的解析式为y=x-1； （2）点P（p，p-1）在直线y=2上， ∴P在直线l上，是直线y=2和l的交点，见图（1） ∴根据条件得各点坐标为N（-1，2），M（1，2），P（3，2）， ∴NP=3-（-1）=4，MP=3-1=2，AP= ， BP= ， ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB=∠NPA， ， ∴△PMB∽△PNA； （3）S △AMN = ·（1+1）·2=2，下面分情况讨论： ①当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2） 设直线MP为y=kx+b，则有 ，解得 ， 则直线MP为 ； 当y=0时，x= ，即点Q的坐标为（ ，0）， 则 ， 由2=4· 有 ，解之，p=3（不合，舍去），p= ； ②当p=3时，见图（1）S △AMP = ·2·2=2S △AMN ，不合题意； ③当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3） 此时，S △AMP 大于情况②当p=3时的三角形面积S△ AMN ，故不存在实数p，使得S △AMN =4S △AMP ， 综上，当p= 时，S △AMN =4S △AMP 。