Question

已知函数 φ(x)= a x+1 ，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且 a= 9 2 ，求函

已知函数 φ(x)= a x+1 ，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且 a= 9 2 ，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x 1 ，x 2 ∈（0，2]，x 1 ≠x 2 ，都有 g( x 2 )-g( x 1 ) x 2 - x 1 ＜-1 ，求a的取值范围．

Answer 1

（1） f′(x)= 1 x - a (x+1) 2 = x 2 +(2-a)x+1 x (x+1) 2 ，（2分） ∵ a= 9 2 ，令f′（x）＞0，得x＞2，或 x＜ 1 2 ， ∴函数f（x）的单调增区间为 (0， 1 2 ) ，（2，+∞）．（6分） （2）∵ g( x 2 )-g( x 1 ) x 2 - x 1 ＜-1 ， ∴ g( x 2 )-g( x 1 ) x 2 - x 1 +1＜0 ， ∴ g( x 2 )+ x 2 -[g( x 1 )+ x 1 ] x 2 - x 1 ＜0 ，（8分） 设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数． 当1≤x≤2时， h(x)=lnx+ a x+1 +x ， h′(x)= 1 x - a (x+1) 2 +1 ， 令h′（x）≤0，得： a≥ (x+1) 2 x +(x+1 ) 2 = x 2 +3x+ 1 x +3 对x∈[1，2]恒成立， 设 m(x)= x 2 +3x+ 1 x +3 ，则 m′(x)=2x+3- 1 x 2 ， ∵1≤x≤2，∴ m′(x)=2x+3- 1 x 2 ＞0 ， ∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为 27 2 ， ∴ a≥ 27 2 （12分） 当0＜x＜1时， h(x)=-lnx+ a x+1 +x ， h′(x)=- 1 x - a (x+1) 2 +1 ， 令h′（x）≤0，得： a≥- (x+1) 2 x +(x+1 ) 2 = x 2 +x- 1 x -1 ， 设 t(x)= x 2 +x- 1 x -1 ，则 t′(x)=2x+1+ 1 x 2 ＞0 ， ∴t（x）在（0，1）上是增函数， ∴t（x）＜t（1）=0， ∴a≥0，（15分）综上所述， a≥ 27 2 （16分）