Question

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．（Ⅰ）求抛物线的

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ） 设点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）（y i ≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．

Answer 1

（I）∵|PF|=4，∴x P + P 2 =4， ∴P点的坐标是（4- P 2 ，4）， ∴有16=2P（4- P 2 ）?P=4， ∴抛物线方程是y 2 =8x． （II）由（I）知点P的坐标为（2，4）， ∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数， 设PA的斜率为k，则PA：y-4=k（x-2），k≠0 y 2 =8x y-4=k(x-2) ? y 2 - 8 k y-16+ 32 k =0 ，方程的解为4、y 1 ， 由韦达定理得：y 1 +4= 8 k ，即y 1 = 8 k -4，同理y 2 =- 8 k -4， k AB = y 1 -y 2 x 1 -x 2 = 8 y 1 +y 2 =-1， 设AB：y=-x+b， y 2 =8x y=-x+b ?y 2 +8y-8b=0， 由韦达定理得：y 1 +y 2 =-8，y 1 y 2 =-8b， |AB|= 1+1 |y 1 -y 2 |=8 b+2 ，点P到直线AB的距离d= |6-b| 2 ， S △ABP =2 2 × (b+2 )(6-b) 2 ，设b+2=t 则（b+2）（b 2 -12b+36）=t 3 -32t-64-（3t-8）（t-8）， ∵△=64+32b＞0?b＞-2，y 1 ?y 2 =-8b≥0?b≤0，∴-2＜b≤0， 设t=b+2∈（0，2]， 则（b+2）（b 2 -12b+36）=t 3 -16t 2 +64t=f（t）， f ′ （t）=3t 2 -32t-64=（3t-8）（t-8）， 由t∈（0，2]知f ′ （t）＞0，∴f（t）在（0，2]上为增函数， ∴f（t） 最大 =f（2）=72， ∴△PAB的面积的最大值为2 2 × 72 =24， 此时b=0，直线AB的方程为x+y=0．