Question

如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD

如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求 的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

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Answer 1

解：（1）证明：如图，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。 ∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°。∴∠1=∠E。 ∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC， ∴△ABD≌△CEB（AAS）。∴AB=CE。 ∴AC=AB+BC=AD+CE。 （2）（i）如图，连接DQ， ∵∠DPQ=∠DBQ="90°," ∴D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上。 ∴∠DQP=∠DBP。 ∴Rt△DPQ∽Rt△DAB。∴ 。 ∵DA=3，AB=EC=5，∴ 。 （ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为 。

（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证。 （2）（i）如图，连接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上，从而可得Rt△DPQ∽Rt△DAB，因此 。 （ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN。 当点P运动至AC中点时，AP=4， ∴在Rt△ADP中，根据勾股定理得：DP=5。 由 得 。 ∴在Rt△DPQ中，根据勾股定理得： 。 又在Rt△ADP中，根据勾股定理得： 。 ∵MN是△BDQ的中位线， ∴ 。 ∴在Rt△DMN中，根据勾股定理得： 。 ∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为 。