在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D,点P在...
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;(3)点Q在直线BC上方的抛物线上,且点Q到直线BC的距离最远,求点Q坐标.
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解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(-3,0),
∴
解得:
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3(4分)
(2)由y=-x2-4x-3
可得D(-2,1),C(0,-3)
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2
可得△OBC是等腰直角三角形
∴∠OBC=45°,CB=3
(5分)
如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴AF=
AB=1
过点A作AE⊥BC于点E
∴∠AEB=90°
可得BE=AE=
,CE=2
(6分)
在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP(7分)
∴
=
,
∴
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解得:
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∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3(4分)
(2)由y=-x2-4x-3
可得D(-2,1),C(0,-3)
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2
可得△OBC是等腰直角三角形
∴∠OBC=45°,CB=3
2 |
如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴AF=
1 |
2 |
过点A作AE⊥BC于点E
∴∠AEB=90°
可得BE=AE=
2 |
2 |
在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP(7分)
∴
AE |
AF |
CE |
PF |
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