Question

已知函数 f(x)=ln x+1 x-1 ．（Ⅰ）求函数的定义域，并证明 f(x)=ln x+1 x-1 在定义

已知函数 f(x)=ln x+1 x-1 ．（Ⅰ）求函数的定义域，并证明 f(x)=ln x+1 x-1 在定义域上是奇函数；（Ⅱ）对于x∈[2，6] f(x)=ln x+1 x-1 ＞ln m (x-1)(7-x) 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由 x+1 x-1 ＞0 ，解得x＜-1或x＞1， ∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞） 当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时， f(-x)=ln -x+1 -x-1 =ln x-1 x+1 =ln( x+1 x-1 ) -1 =-ln x+1 x-1 =-f(x) ∴ f(x)=ln x+1 x-1 在定义域上是奇函数． （Ⅱ）由x∈[2，6]时， f(x)=ln x+1 x-1 ＞ln m (x-1)(7-x) 恒成立， ∴ x+1 x-1 ＞ m (x-1)(7-x) ＞0，∵x∈[2，6] ∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立 令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3） 2 +16，x∈[2，6]， 由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减， x∈[2，6]时，g（x） min =g（6）=7．． ∴0＜m＜7．