Question

设a为实数，函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值

设a为实数，函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x） 2 +|-x|+1=f（x） 此时，f（x）为偶函数 当a≠0时，f（a）=a 2 +1，f（-a）=a 2 +2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a） 此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数 （2）①当x≤a时， f(x)= x 2 -x+a+1=(x- 1 2 ) 2 +a+ 3 4 当 a≤ 1 2 ，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a 2 +1． 若 a＞ 1 2 ，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为 f( 1 2 )= 3 4 +a ，且 f( 1 2 )≤f(a) ． ②当x≥a时，函数 f(x)= x 2 +x-a+1=(x+ 1 2 ) 2 -a+ 3 4 若 a≤- 1 2 ，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为 f(- 1 2 )= 3 4 -a ，且 f(- 1 2 )≤f(a) 若 a＞- 1 2 ，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a 2 +1． 综上，当 a≤- 1 2 时，函数f（x）的最小值为 3 4 -a 当 - 1 2 ＜a≤ 1 2 时，函数f（x）的最小值为a 2 +1 当 a＞ 1 2 时，函数f（x）的最小值为 3 4 +a ．