Question

已知函数f(x)＝a?12x+1，（x∈R）．（1）用定义证明：不论a为何实数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；（2

已知函数f(x)＝a?12x+1，（x∈R）．（1）用定义证明：不论a为何实数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；（2）问是否存在这样的实数a使得f（x）为奇函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：任取x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝a?

1

2x1+1

?a+

1

2x2+1

=

2x1?2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1?2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）解：存在，证明如下
∵若f（x）在x∈R上为奇函数，则有 f（0）=0，
即a?

1

20+1

＝0．
解得 a＝

1

2

．经检验满足题设