如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且AB=2,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点.(1)求
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且AB=2,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点.(1)求证:AE⊥PD;(2)若H为PD上的动点,...
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且AB=2,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点.(1)求证:AE⊥PD;(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成的最大角的正切值为62.①求PA的长度;②当H为PD的中点时,求异面直线PB与EH所成角的余弦值.
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解答:(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.
∵E为BC的中点,∴AE⊥BC.又BC∥AD,∴AE⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,∴PA⊥AE.
而PA∩AD=A,
∴AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD,∴AE⊥PD.
(2)解:①连接EH.由(1)知AE⊥平面PAD,∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,AE=
,而tan∠EHA=
=
,
∴当AH最短时,∠EHA最大,即当AH⊥PD时,tan∠EHA=
=
,因此AH=
.又AD=2,∴∠ADH=45°,∴PA=AD=2.
②取PA中点F,连BF,HF,则HF∥AD,且HF=
AD,而BC∥AD,BC=AD,∴BE=HF,BE∥HF.
故四边形BEHF是平行四边形,则EH∥BF,所以异面直线PB与EH所成的角是∠PBF或其补角.由计算得:PB=2
,BF=
,PF=1,
故cos∠PBF=
=
,
故异面直线PB与EH所成角的余弦值是
.
∵E为BC的中点,∴AE⊥BC.又BC∥AD,∴AE⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,∴PA⊥AE.
而PA∩AD=A,
∴AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD,∴AE⊥PD.
(2)解:①连接EH.由(1)知AE⊥平面PAD,∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,AE=
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AE |
AH |
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AH |
∴当AH最短时,∠EHA最大,即当AH⊥PD时,tan∠EHA=
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AH |
| ||
2 |
2 |
②取PA中点F,连BF,HF,则HF∥AD,且HF=
1 |
2 |
故四边形BEHF是平行四边形,则EH∥BF,所以异面直线PB与EH所成的角是∠PBF或其补角.由计算得:PB=2
2 |
5 |
故cos∠PBF=
PB2+BF2-PF2 |
2PB?BF |
3
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10 |
故异面直线PB与EH所成角的余弦值是
3
| ||
10 |
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