已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递减
已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递减区间:(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax,a>...
已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递减区间:(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax,a>0,若x∈(O,e]时,g(x)的最小值是3,求实数a的值.(e为自然对数的底数)
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(1)∵f(x)=x2-lnx
∴f′(x)=2x-
.
∴f'(1)=1.
又∵f(1)=1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=x-1.即x-y=0.
(2)因为函数f(x)=2x2-lnx的定义域为(0,+∞),
由f′(x)=2x-
<0,得0<x<
.
所以函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间是(0,
).
(3)∵g(x)=ax-lnx,∴g′(x)=
,令g′(x)=0,得x=
,
①当
≥e时,即0<a≤
时,g′(x)=
≤0在(0,e]上恒成立,
则g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
(舍去),
②当0<
<e时,即a>
时,列表如下:
由表知,g(x)min=g(
)=1+lna=3,a=e2,满足条件.
综上,所求实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.
∴f′(x)=2x-
1 |
x |
∴f'(1)=1.
又∵f(1)=1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=x-1.即x-y=0.
(2)因为函数f(x)=2x2-lnx的定义域为(0,+∞),
由f′(x)=2x-
1 |
x |
| ||
2 |
所以函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间是(0,
| ||
2 |
(3)∵g(x)=ax-lnx,∴g′(x)=
ax?1 |
x |
1 |
a |
①当
1 |
a |
1 |
e |
ax?1 |
x |
则g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4 |
e |
②当0<
1 |
a |
1 |
e |
由表知,g(x)min=g(
1 |
a |
综上,所求实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.
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