Question

将函数f（x）=x2在[-π，π]上展开成傅立叶级数，并求∞n＝11n2

将函数f（x）=x2在[-π，π]上展开成傅立叶级数，并求∞n＝11n2．

Answer 1

f（x）为偶函数，
a0＝

1

π

∫

π ?π

x2dx＝

2π2

3

，
n≥1时，an＝

1

π

∫

π ?π

x2cosnxdx
=

1

nπ

∫

π ?π

x2dsinnx
=

1

nπ

(x2sinnx

|

π ?π

?

2∫

π ?π

xsinnxdx)
=

1

nπ

?

2

n

∫

π ?π

xdcosnx
=

2

n2π

(xcosnx

|

π ?π

?

∫

π ?π

cosnxdx)
=

2

n2π

(2πcosnπ?

sinnx

n

|

π ?π

)
=(?1)n

4

n2

，
f（x）=

π2

3

+

∞

n＝1

(?1)n

4

n2

cosnx，x∈[-π，π]．
令x=0，0=f（0）=

π2

3

+4

∞

n＝1

1

n2

?（-1）ⁿ，
解得

Answer 2

f（x）为偶函数，
a0＝
1
π
∫
π
−π

x2dx＝
2π2
3
，
n≥1时，an＝
1
π
∫
π
−π

x2cosnxdx
=
1
nπ
∫
π
−π

x2dsinnx
=
1
nπ
(x2sinnx
|
π
−π

−
2∫
π
−π

xsinnxdx)
=
1
nπ
•
2
n
∫
π
−π

xdcosnx
=
2
n2π
(xcosnx
|
π
−π

−
∫
π
−π

cosnxdx)
=
2
n2π
(2πcosnπ−
sinnx
n
|
π
−π

)
=(−1)n
4
n2
，
f（x）=
π2
3
+
∞

n＝1
(−1)n
4
n2
cosnx，x∈[-π，π]．
令x=0，0=f（0）=
π2
3
+4
∞

n＝1
1
n2
•（-1）n，