Question

设函数f(x)对任意x，y∈R，都f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2，(1)求证：f(x)是奇函数；(2

设函数f(x)对任意x，y∈R，都f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2，(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问在-3≤x≤3时时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由．

Answer 1

(1)证明：令x=y=0，则有 ， 令y=-x，则有 ， 即 ， ∴f（x）是奇函数． (2)任取 ，则 ， 且 ， ∴ ， ∴y= f（x）在R上为减函数， 因为f(3)为函数的最小值，f(-3)为函数的最大值， f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6， ∴函数的最大值为6，最小值为-6．