Question

已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上且过点 P ，离心率是 .(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线

已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上且过点 P ，离心率是 .(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 l 过点 E (－1,0)且与椭圆 C 交于 A ， B 两点，若| EA |＝2| EB |，求直线 l 的方程．





Answer 1

（1） ＋ y 2 ＝1（2） x ＋6 y ＋ ＝0和 x －6 y ＋ ＝0.

(1)设椭圆 C 的标准方程为 ＝1( a ＞ b ＞0)．由已知可得 ， 解得 a 2 ＝4， b 2 ＝1. 故椭圆 C 的标准方程为 ＋ y 2 ＝1. (2)由已知，若直线 l 的斜率不存在，则过点 E (－1,0)的直线 l 的方程为 x ＝－1，此时令 A ， B ，显然| EA |＝2| EB |不成立． 若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋1)．则 ， 整理得(4 k 2 ＋1) x 2 ＋8 k 2 x ＋4 k 2 －4＝0. 由 Δ ＝(8 k 2 ) 2 －4(4 k 2 ＋1)(4 k 2 －4)＝48 k 2 ＋16＞0. 设 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )． 故 x 1 ＋ x 2 ＝－ ，① x 1 x 2 ＝ .② 因为| EA |＝2| EB |，即 x 1 ＋2 x 2 ＝－3.③ ①②③联立解得 k ＝± . 所以直线 l 的方程为 x ＋6 y ＋ ＝0和 x －6 y ＋ ＝0