Question

已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 ，且经过点（－1， ），过点P（2，1）的直线 l 与椭

已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 ，且经过点（－1， ），过点P（2，1）的直线 l 与椭圆C在第一象限相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求直线 l 的方程以及点M的坐标；（3）是否存在过点P的直线l 与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足 · = ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.

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Answer 1

解：⑴设椭圆C的方程为 + =1（a＞b＞0）， 由题意，得 解得a 2 =4，b 2 =3，故椭圆C的方程为 ⑵因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在， 故可设直线l的方程为y=k(x-2)+1. 由 ，得（3+4k 2 ）x 2 -8k(2k-1)x+16k 2 -16ｋ-8=0.① 因为直线l与椭圆相切，所以Δ=［-8k(2k-1)］ 2 -4(3+4k 2 )（16k 2 -16k-8）=0. 整理，得32(6k+3)=0，解得k=- . 所以直线l方程为y=- (x-2)+1=- x+2. 将k=- 代入①式，可以解得M点的横坐标为1， 故切点M的坐标为(1， ). ⑶若存在直线l 1 满足条件， 设其方程为y=k 1 (x-2)+1，代入椭圆C的方程，得(3+4k 2 1 )x 2 -8k 1 (2k 1 -1)x+16k 2 1 -16k 1 -8=0. 因为直线l 1 与椭圆C相交于不同的两点A，B， 设A，B两点的坐标分别为A（x 1 ，y 1 ），B(x 2 ，y 2 )， 所以Δ=［-8k 1 （2k 1 -1）］ 2 -4（3+4k 2 1 ）(16k 2 1 -16k 1 -8)=32(6k 1 +3)＞0. 所以k 1 ＞- .x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 = . 因为 · = 即（x 1 -2）（x 2 -2）+（y 1 -1）（y 2 -1）= ， 所以（x 1 -2）（x 2 -2）（1+k 2 1 ）=｜PM｜ 2 = . 即［x 1 x 2 -2（x 1 +x 2 ）+4］（1+k 2 1 ）= . 所以［ -2· +4］（1+k 2 1 ）= ，解得k 1 =± .     因为k 1 ＞- 所以k 1 = . 于是存在直线l 1 满足条件， 其方程为y= x