Question

（2007?南京模拟）如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD

（2007?南京模拟）如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点E，连EO，EM．
∵EO∥PB，EO=

1

2

PB，MA∥PB，MA=

1

2

PB，
∴EO∥MA，且EO=MA、
∴四边形MAOE是平行四边形．
∴ME∥AC
又∵AC?平面PMD，ME?平面PMD，
∴AC∥平面PMD

（Ⅱ）如图，PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴CD⊥PB、
又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC、
∵CD?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD、
过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，
连接DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角
不妨设AB=2，
则在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=

1

2

PC=

2

．
∵BD=2

2

．
∴在Rt△BFD中，BF=

1

2

BD，
∴∠BDF=

π

6

．
∴直线BD与平面PCD所成的角是

π

6

．