Question

已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=18，其前 n项和为Sn；{bn}是等差数列，b1=2，其前n项和为Tn

已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=18，其前 n项和为Sn；{bn}是等差数列，b1=2，其前n项和为Tn，若S3=T4．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，试比较P19与Q19的大小．

Answer 1

（1）设{a_n}的公比是q，{b_n}的公差为d
由

a1＝2 a3＝18 an＞0

，可得

a1＝2 q ＝3

，得a_n=2?3^n-1        （2分）
由S₃=T₄，可得

2(1?33)

1?3

＝2n+

n(n?1)

2

d，得公差d=3       （4分）
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1；                     （6分）
（2）∵{b_n}是等差数列，公差为d
∴b₁、b₄、b₇、…、b_3n-2，…组成以3d为公差的等差数列
∴P_n=

n(2+9n?7)

2

=

1

2

（9n²-5n），取n=19得P₁₉=1577            （9分）
同理可得Q_n=

n(29+6n+23)

2

=3n²+26n，取n=19得Q₁₉=1577       （12分）
∴P₁₉=Q₁₉．