Question

如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=2，A＝π6．D为AC延长线上一点，且CD=3+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小

如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=2，A＝π6．D为AC延长线上一点，且CD=3+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．

Answer 1

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，
因为AB＝2，A＝

π

6

，BC＝

2

，
由正弦定理可得

AB

sin∠ACB

＝

BC

sinA

，
即

2

sin∠ACB

＝

2

sin π 6

＝

2

1 2

＝2

2

，
所以sin∠ACB＝

2

2

．
因为∠ACB为钝角，所以∠ACB＝

3π

4

．
所以∠BCD＝

π

4

．   …（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD²=CB²+DC²-2CB?DC?cos∠BCD，
即BD2＝(

2

)2+(

3

+1)2?2?

2

?(

3

+1)?cos

π

4

，
整理得BD=2．
在△ABC中，由余弦定理可知BC²=AB²+AC²-2AB?AC?cosA，
即(

2

)2＝22+AC2?2?2?AC?cos

π

6

，
整理得AC2?2

3

AC+2＝0．解得AC＝

3

±1．
因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以AC＝

3

?1．
所以△ABC的面积S＝

1

2

AC?AB?sinA＝

1

2

×2×(

3

?1)×

1

2

＝

3 ?1

2

．…．（13分）