Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴正半轴上，以OB为直径的⊙C交AB于点D，DE切⊙C于点D，

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴正半轴上，以OB为直径的⊙C交AB于点D，DE切⊙C于点D，交x轴于点E，且OA=123cm，∠OAB=30°．（1）求直线AB的解析式；（2）求EA的长度；（3）若线段EA在x轴上运动，△CEA的周长是否存在最小值？若存在，分别求出点E、A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12

3

，得AB=2OB，
∴点A的坐标为：（12

3

，0），
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

12 3 x+b＝0 b＝12

解得：

k＝? 3 3 b＝12

故直线AB的解析式为y＝?

3

3

x+12．

（2）连接OD，则∠ODB=∠ODA=90°
则∠ODE+∠DOE=90°∠DOA+∠OAD=90°       
∵EO、ED为⊙C的切线
∴EO=ED，
∴∠ODE=∠DOE，
∴∠EDA=∠DAE
∴ED=EA
∴E为OA的中点，
∴EA=

1

2

OA=6

3

；

（3）过E作EH∥AC，且EH=AC，作H关于x轴的对称点S，连SC，交x轴于E'，
则H（?6

3

，6）、S（?6

3

，-6），
∵四边形HCAE为平行四边形，
∴AC=HE=SE，
要使△CEA的周长最小，则要求CE+CA最小，即CE+SE最小，
∴C、E、S三点共线，即点E'为所求的E点，
SC的解析式为：y＝

2

3

3

x+6，
∴E（?3

3

，0）、A（3

3

，0）．