Question

如图，在△ABC、△DEF中，AM、DN分别是两三角形中线，AB=DE，AC=DF，AM=DN．求证：△ABC≌DEF

如图，在△ABC、△DEF中，AM、DN分别是两三角形中线，AB=DE，AC=DF，AM=DN．求证：△ABC≌DEF．

Answer 1

解答：证明：如图，延长AM至A′，使A′M=AM，延长DN至D′，使D′N=DN，连接A′C、D′F，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM=MC，
在△ABM和△A′CM中，

BM＝MC ∠AMB＝∠A′MC AM＝A′M

，
∴△ABM≌△A′CM（SAS），
∴AB=A′C，
同理可得DE=D′F，
∵AB=DE，
∴A′C=D′F，
∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN，
∴AA′=DD′，
在△AA′C和△DD′F中，

AC＝DF AA′＝DD′ A′C＝D′F

，
∴△AA′C≌△DD′F（SSS），
∴∠A′=∠D′，
在△A′MC和△D′NF中，

A′M＝D′N ∠A′＝∠D′ A′C＝D′F

，
∴△A′MC≌△D′NF（SAS），
∴MC=NF，
∵AM、DN分别是两三角形中线，
∴BC=2MC，EF=2NF，
∴BC=EF，
在△ABC和DEF中，

AB＝DE AC＝DF BC＝EF

，
∴△ABC≌DEF（SSS）．