Question

计算曲线积分∮Lydx?xdy2(x2+y2)其中L为圆周（x-1）2+y2=4，L的方向为逆时针方向

计算曲线积分∮Lydx?xdy2(x2+y2)其中L为圆周（x-1）2+y2=4，L的方向为逆时针方向．

Answer 1

解：把圆的方程x²+y²=1改写成参数方程：x=cost，y=sint，dx=-sintdt，dy=costdt

S=(1/2)∮xdy-ydx

=(1/2)∫‹0，2π›(cos²t+sin²t)dt

=(1/2)∫‹0，2π›dt

=(1/2)t︱‹0，2π›

=π 故∮xdy-ydx

=2π

扩展资料

曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。

对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

Answer 2

设P＝

y

2(x2+y2)

，Q＝

?x

2(x2+y2)

，

则

?P

?y

＝

x2?y2

2(x2+y2)2

＝

?Q

?x

，(x2+y2≠0)
作圆周l：x2+y2＝

1

2

，取逆时针方向，
对L和l所围的区域应用格林公式：

∮

L

ydx?xdy

2(x2+y2)

?

∮

l

ydx?xdy

2(x2+y2)

＝0 
于是

∮

L

ydx?xdy

2(x2+y2)

＝

∮

l

ydx?xdy

2(x2+y2)

＝

∮

l

ydx?xdy 
设D为l所围区域，由格林公式

∮

l

ydx?xdy=

∫∫

D

(?2)dxdy＝?π
∴

∮

L

ydx?xdy

2(x2+y2)

＝?π