Question

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．

Answer 1

（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC． （2）AD与BE垂直． 证明：由BE为∠ABC的平分线， 知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE， ∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合． ∴A、D是对称点， ∴AD⊥BE． （3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB， ∴AE=DE， 在Rt△ABE和Rt△DBE中 AE=DE BE=BE ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）， ∴AB=BD， 又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠C=45°，又ED⊥BC， ∴△DCE为等腰直角三角形， ∴DE=DC， 即AB+AE=BD+DC=BC=10．