Question

（本题满分14分）已知函数 （ 且 ）．（Ⅰ）当 时，求证：函数 在 上单调递 增；（Ⅱ）若函数 有

（本题满分14分）已知函数 （ 且 ）．（Ⅰ）当 时，求证：函数 在 上单调递 增；（Ⅱ）若函数 有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x 1 ，x 2 ∈[﹣1,1]，使得 ，试求a的取值范围．注：e为自然对数的底数。

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Answer 1

解：（Ⅰ） ， 由于 ，故当x∈ 时，lna＞0，a x ﹣1＞0，所以 ， 故函数 在 上单调递增。       ………………………………………4分 （Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为 ，且  在R上单调递增， 故 有唯一解x=0。 要使函数  有三个零点，所以只需方程  有三个根， 即，只要 ，解得t=2； ………………………………9分 （Ⅲ）因为存在x 1 ，x 2 ∈[﹣1,1]，使得 ， 所以当x∈[﹣1,1]时， 。 由（Ⅱ）知， ， 。 事实上， 。 记 （ ） 因为  所以  在 上单调递增，又 。 所以  当 x＞1 时， ； 当0＜x＜1 时， ， 也就是当a＞1时， ； 当0＜a＜1时， 。 ① 当 时，由 ，得 ， 解得 。 ②当0＜a＜1时，由 ，得 ， 解得 。 综上知，所求a的取值范围为 。

略